如何用苏黎世仪器锁相放大器测量Allan方差
如何用苏黎世仪器锁定放大器测量Allan方差
2023年8月28日Avishek Chowdhury
介绍
由于测量量的随机波动以及与之相关的物理量的变化，任何物理参数的测量都会受到噪声的影响。这种波动会导致测量量的漂移，从而限制测量的准确性。为了了解这些噪声是如何影响测量的，必须对不同的噪声源进行详细调查，以减轻其大小。在通常的统计数据标准差测量中，几种噪声源的影响受到阻碍，无法全面了解系统的噪声模型。相比之下，通过测量多个时间尺度上的变化，数据集的Allan方差测量可以更清楚地理解。需要考虑的重要变量通常是所调查参数的波动方差、平均时间、采样率和总采集时间。Allan方差方法最初已广泛应用于原子钟稳定性的测量[1，2]，但已扩展到表征经典[3，4，5]以及量子态[6]中传感器的稳定性。在这篇博客文章中，我们重点研究了频率波动的Allan方差的测量。
Allan方差
Allan方差测量在历史上已经被开发用于原子钟或谐振器以研究其稳定性，但可以潜在地扩展到任何噪声信号幅度分析以研究复杂的噪声行为。IEEE基频和计量物理量的标准定义将其定义为“两个样本的方差”，。有时也称为Allan偏差，同时报告参数。与标准偏差测量不同，标准偏差测量是在样本数据的平均值和所有数据点之间进行的；该技术专注于数据在测量之间的变化。
统计测量的Allan方差可以通过以下方程[1，4]计算：
在这个公式中，“N”表示测量中的样本总数。符号“τ”表示采样时间，并且”уn“表示数据集中的第n个数据样本。这些数据样本可以是谐振器的频率，也可以是谐振器绝对相位除以解调器设置的频率。
重叠Allan方差
为了计算重叠Allan方差，从原始序列中测量一定数量的重叠序列。已知对于大数据集，重叠估计器比非重叠估计员提供更好的性能，并且可以使用以下表达式来计算：
这里，m表示每个聚类中的样本总数。在保持恒定的采样时间τ的情况下，针对变化的m计算Allan方差。该方差与
mr的对数-对数图给出了不同积分时间的Allan方差测量值。如前所述，由于其优越的性能，这篇博客文章将重叠的Allan方差视为首选度量。
噪声贡献
Allan方差是一种测量估计器在不同积分时间上的方差的方法。它提供了对影响测量的各种噪声源的深入了解。与常规的标准差测量不同，Allan方差分析可以识别不同的噪声源。高斯噪声和随机噪声是影响测量的典型噪声源。快速波动会产生随机噪声，而慢速漂移会在更长的时间尺度上发生，导致更高积分时间的偏差增加。Allan方差图在对数-对数尺度上直接显示了噪声的大小作为积分时间的函数，使识别不同状态下的各种噪声和漂移变得容易。在以下章节中，我们将讨论几种噪声源及其影响[5]。
l 量化噪声：通常由模拟数据集的数字信号处理产生。当时间尺度为采样时间τ的顺序时，这种情况在非常低的积分时间明显发生。在该区域中，Allan方差随τ-2而变化。
l 高斯噪声：这种噪声是测量的热信号固有的，以及相关电路的所有电子部件中产生的热噪声。这种噪声通常与Allan方差测量中的斜率τ-1相关联。
l 闪烁噪声：这是一种典型的电子噪声，几乎出现在所有类型的电子设备中。它有时也被称为1/f噪声。在Allan方差图上，它可以用斜率0来识别。
l 布朗噪声或随机游动：这些噪声发生在短时间的变化中，因此被称为布朗噪声。这种噪声的特征在于在Allan方差图中变化为τ1的区域。
l 稳态漂移：顾名思义，这些噪声通常发生在与测量值缓慢变化相关的较长测量时间内。变化可能与系统中缓慢的温度漂移有关。这种噪声在典型的Allan方差图中变化为τ2。
图1:苏黎世仪器锁相放大器HF2LI的Allan偏差测量。
测量策略
在这篇博客文章中，我们讨论了谐振频率为1.84 MHz、Q因子为17000的谐振器的Allan方差测量。谐振器连接在HF2LI锁相放大器的信号输出和输入之间，如图1所示。通过这种设置，可以在开环和闭环配置中测量Allan方差。发射信号以1kHz的固定带宽和300秒的固定测量时间进行解调。
开环测量
在这种设置中，通过观察谐振器的瞬时频率来监测传感器的谐振相位。通过在保持驱动频率恒定的同时观察相位滞后来跟踪谐振器频率的波动。在设置测量稳定时间时，必须考虑谐振器的特性时间，该特性时间由其损耗决定。这被称为开环配置，因为没有对谐振器的谐振进行控制。在频率偏移大于谐振器的自然线宽的区域中，传感器的性能受到稳定漂移的影响。此外，因为在这种配置中，锁定的解调器频率由驱动频率固定，所以必须探测振荡器的相位以确定Allan方差。
传感器的性能如图所示。2，其中计算不同积分时间的重叠Allan方差（Eq.2）。通过分析方差的斜率（见图2），我们可以识别上一节中讨论的不同噪声区域。为了在更长的集成时间内增强传感器的性能，建议在闭环状态下操作[2]。闭环配置的实现和效果将在下一节中进行解释。
图2：开环配置中作为积分时间函数的阿伦方差图。红色实线表示测量值，而虚线表示各种噪声贡献。
闭环测量
在这种设置中，PLL用于监测和调整振荡器的频率。通过跟踪谐振器的相位并相应地调整驱动频率，可以将谐振频率保持在恒定值。PLL带宽限制了在一定时间尺度内跟踪波动的能力。苏黎世仪器公司提供PLL控制器作为锁定装置的升级选项，可用于此目的。只要相位保持锁定到谐振器，PLL就可以跟上其带宽内的波动。有关操作锁相环的更多信息，请参阅PID控制器和锁相环白皮书。
图3：锁相环的示意图。首先检测输入信号的相位，然后将其馈送到PID控制器上。PID的输出控制振荡器，然后相应地校正振荡器的频率。
闭环测量技术当然有助于校正漂移，从而有助于在更长的时间尺度上提高性能。然而，重要的是要记住PLL带宽的作用；如果带宽过高，可能会由于更高的频率波动而导致较差的噪声性能。另一方面，如果带宽太低，PLL将不能有效地跟踪频率波动。为了比较不同锁定带宽下的闭环和开环性能，我们测量了具有以下配置的石英谐振器的闭环性能：
l 开环测量（红线）。
l PLL带宽为200 Hz的闭环测量（绿线）。
l 闭环测量，PLL带宽为20 Hz（蓝线）。
图4:Allan方差作为开环（红色）的积分时间的函数，PLL以的带宽实现。Hz（绿色）、 Hz（蓝色）。
为了提高性能，我们现在实现了一个PLL来锁定具有不同带宽的谐振器，结果如图4所示。首先，实现高于谐振器的自然线宽＝100Hz的PLL带宽。200赫兹的锁定带宽允许振荡器漂移超过其自然线宽，这对短测量产生了负面影响，但能够更好地跟踪较慢的漂移，获得更高的积分时间（绿线）。PLL带宽低于20 Hz时谐振器的线宽（蓝线）对谐振器施加了更严格的限制，与开环配置（红线）相比，噪声性能提高了一个数量级。然而，较窄的锁定带宽会导致较慢的PLL响应和难以跟随谐振器的波动。在为任何谐振器设计PLL带宽时都应考虑到这一点。
找出系统的Allan方差
在这里找到Python笔记本，用于测量系统的Allan方差。该文件通过轮询特定解调器节点与任何ZI锁相放大器一起工作。目前，它被设置为第一个解调器，在那里它驱动并测量来自任何谐振器的响应。在第二部分中，它轮询来自该解调器节点的特定时间的数据，该特定时间可以通过参数“time_meas”来固定。在轮询过程中，文件被转储在临时文件中，并在单个文件中再次导入，以执行Allan方差的测量。Allan方差最终是在测量数据的相位上而不是在频率上测量的，因为后者是由解调器本身固定的。该频率可用于PLL试图跟随谐振器波动的闭环方法中。最后，使用Allantools库计算重叠Allan方差，并将结果绘制在对数对数图中。看看Tomás Manzaneque García博士的成功案例，他成功地使用超高频锁定放大器实现了PLL并测量了质量传感器的Allan方差。
重要注意事项
l 高度期望锁相放大器的时钟的高稳定性。离散测量具有相等的时间戳对于阿伦方差的精确计算至关重要。
l 所有苏黎世锁相放大器都有PLL作为升级选项，可以自动设置PID参数。从而使其更容易在您的设置中实现，而无需花费长时间优化参数。
结论
通过进行Allan方差分析，我们可以深入了解系统中存在的各种噪声源，以及它们如何随着时间的推移影响性能。在这个例子中，我们使用石英谐振器进行分析，但这项技术可以应用于任何需要对噪声源进行仔细分析的实验装置。在第二节中，我们比较了谐振器在开环和闭环配置中的性能。通常，闭环配置显示出更好的噪声性能，但代价是较慢的响应时间。因此，根据所需的应用和对快速传感器响应的需求，应使用开环配置。而如果需要高度精确的漂移测量，闭环技术仍然是理想的选择。
工具书类
大卫·W·艾伦。经典方差是否应作为标准计量的基本度量？IEEE仪器与测量汇刊，IM-36，第2期，1987年6月。
大卫·W·艾伦。原子频率标准统计。《IEEE学报》，第54卷，第2期，1966年2月。
Pedram Sadeghi等。纳米机械氮化硅串谐振器的频率波动。物理评论B 102214106（2020）。
Tomas Manzaneque等。通过开环测量确定谐振传感器闭环精度的方法。IEEE传感器杂志，第20卷，第23期，2020年12月1日。
D V Land等人使用Allan偏差测量微波辐射计的噪声和漂移性能。Meas。Sci。Technol。18 (2007) 1917-1928.
洛伦佐·达尼亚等。悬浮纳米机械振荡器的超高质量因子。arXiv：2304.02408v1[定量ph]2023年4月5日。
鸣谢
我衷心感谢我的同事KivançEsat和Heidi Potts，感谢他们对这篇博客文章的宝贵见解和反馈。
